Numerical implementation for conception of strut and tie models in reinforced concrete structures

Resumo

O Modelo de Bielas e Tirantes pode ser uma excelente alternativa para o dimensionamento de elementos estruturais em concreto armado submetidos a estado plano de tensão e para regiões que apresentem descontinuidade de ordem geométrica ou estática, substituindo procedimentos empíricos por uma metodologia racional de projeto. Para tornar a concepção do modelo menos dependente da experiência do projetista, o presente artigo tem como objetivo aliar a técnica de otimização topológica ESO (Evolutionary Structural Optimization) ao Método dos Elementos Finitos para geração automática dos modelos de bielas e tirantes. O critério de evolução do método de otimização topológica adotado considera a eliminação de elementos menos solicitados em termos de tensão, a partir de uma análise elástico-linear. Nesse contexto, é possível obter soluções otimizadas de problemas complexos envolvendo o concreto estrutural. São apresentados três exemplos numéricos para comprovação e validação das formulações e técnicas implementadas, cujos modelos de bielas e tirantes obtidos apresentam boa concordância em relação às respostas encontradas em trabalhos científicos precursores sobre o tema.

Palavras-chave: Modelo de bielas e tirantes, método dos elementos finitos, otimização topológica, concreto armado

Abstract

The Strut-and-Tie Model can be na excellent alternative for the design of reinforced concrete structural elements submitted to plane stress state and for regions with geometric or static discontinuity, replacing empirical procedures with a rational design methodology. To make the design of the model less dependent on the designer's experience, this article aims to combine the topological optimization technique ESO (Evolutionary Structural Optimization) with the Finite Element Method for the automatic generation of strut-and-tie models. The evolution criterion of the adopted topological optimization method considers the elimination of less stressed elements in terms of stress, from an elastic-linear analysis. In this context, it is possible to obtain optimized solutions of complex problems involving structural concrete. Three numerical examples are presented to prove and validate the formulations and techniques implemented whose strut-and-tie models present a good agreement in relation to the answers found in precursor scientific works on the subject.

Keywords: Strut-and-tie model, finite element method, topological optimization, reinforced concrete

1. Introdução

Para regiões ou elementos estruturais nos quais a Hipótese de Bernoulli não descreva adequadamente o comportamento estrutural ou distribuição de tensões, pode-se recorrer a outras alternativas de dimensionamento, tais como o Método dos Elementos Finitos (MEF) e o Modelo de Bielas e Tirantes (MBT). Nessas regiões, denominadas na literatura de ‘Regiões D’ (Descontinuity), as tensões de cisalhamento são significativas e a distribuição de deformações é não linear. Como exemplo, citam-se elementos estruturais como vigas-parede, consolos, sapatas, nós de pórticos, blocos rígidos de fundação sobre estacas, furos em vigas e dentes Gerber.

Estudos pioneiros envolvendo o MBT tiveram origem no início do século XX. Ritter e Morsch propuseram, a partir de resultados experimentais, a analogia clássica do modelo de treliças para o dimensionamento a cisalhamento de vigas fletidas de concreto armado. Segundo esse modelo, admite-se a substituição da viga original por uma treliça equivalente definida a partir da distribuição de tensões. As barras tracionadas representam campos de tensão de tração (tirantes), enquanto as barras comprimidas representam campos de tensão de compressão (bielas).

Foi a partir dos trabalhos desenvolvidos por Schlaich et al. [1], entretanto, que o tema ganhou forte impulso. Além das vigas inicialmente analisadas, esses pesquisadores estenderam a aplicação do modelo de bielas e tirantes a outros tipos de elementos estruturais. Abordaram temas como procedimentos para definição das regiões com e sem descontinuidade, geração dos modelos de treliças no interior do contínuo de concreto, cálculo dos esforços internos, diretrizes para verificação das tensões nas bielas e regiões nodais e cálculo e detalhamento da armadura necessária.

Entretanto, a não unicidade do modelo topológico, torna a concepção dependente da experiência e da sensibilidade estrutural do projetista para representar o fluxo interno de tensões. Sendo a armadura calculada e distribuída conforme o modelo topológico definido para o elemento estrutural de concreto armado, a correta definição desse não somente gera economia como também está relacionada à segurança.

A otimização topológica (OT) é comumente vista como um método computacional para lançar estruturas a partir da distribuição ótima de material em uma determinada região do espaço. Neste artigo, isso é feito através de uma combinação do Método dos Elementos Finitos, de um modelo para o comportamento do material e de técinas de otimização. Ou seja, o domínio de projeto é discretizado em uma malha refinada de elementos finitos, de modo que se possa analisar seu comportamento e, então, é distribuído material de forma racionalizada através de algoritmos de otimização.

É nesse contexto que se insere o objetivo deste trabalho, isto é, fornecer uma ferramenta eficaz e confiável para a geração automática do modelo de bielas e tirantes via OT, definindo a melhor configuração a ser adotada para a análise. Será adotada uma técnica de otimização de layout, proposta inicialmente por Xie e Steven [2] denominado Otimização Estrutural Evolucionária (Evolutionary Structural Optimization – ESO). A essência do método consiste na remoção gradual de regiões menos solicitadas, com base num critério de penalidade baseado em tensões equivalentes de von Mises. Isto é, elementos com tensões abaixo de um determinado limite são removidos da malha a cada iteração num processo denominado “hard-kill”. Dessa forma, é possível obter uma estrutura ótima para um dado volume remanescente.

Para a realização do objetivo principal pode-se destacar os seguintes objetivos específicos: implementação de um elemento finito triangular de três nós para análise em estado plano de tensão; implementação de uma rotina de otimização topológica dentro de um Programa de Elementos Finitos. A escolha do elemento triangular de três nós para a análise numérica de estruturas em estado plano de tensões, deve-se ao fato de que esse elemento requer uma discretização do contínuo bastante detalhada, permitindo assim definir as regiões de compressão e tração do modelo bielas e tirantes com mais refinamento. Uma vez que, em algumas etapas das análises a técnica de evolução utilizada no processo de otimização topológica na estrutura plana de concreto consiste em eliminar o elemento o da malha de elementos finitos, por isso a exigência de uma malha bem refinada, em consequência um elemento mais pobre em termos das funções de forma.

2. Formulação do elemento finito triangular linear

Para geração do modelo de bielas e tirantes considerando análise linear, foi implementado a técnica ESO que é uma alternativa ao rigor matemático de métodos clássicos de otimização. O algoritmo baseia-se em uma análise via MEF e, como o presente estudo trata de elementos estruturais de concreto armado submetidos a estado plano de tensões, foi necessária, portanto, a implementação de um elemento finito bidimensional, cuja formulações é descrita neste item.

O elemento finito implementado neste trabalho é o elemento triangular de três nós e dois graus de liberdade por nó, denominado Constant Strain Triangle (CST), usado na simulação numérica pelo MEF, baseado em deslocamentos. No caso da análise linear, o material é considerado homogêneo, isotrópico e linear.

Segundo o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV), aplicando-se um campo de deformação virtual compatível ao elemento triangular tem-se: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \delta W_{int}= \delta W_{ext}} , isto é, o trabalho virtual externo é igual ao trabalho virtual interno. O trabalho virtual interno, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \delta W_{int}} , pode ser escrito como:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \delta W_{int}=\underset{V}{\displaystyle \int\!\int\!\int }{\sigma }_{ij}\delta {\epsilon }_{ij}dV}

(1)

onde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \delta }

é o operador variacional, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\sigma }_{ij}
é o estado tensional real em um ponto qualquer no elemento, e  Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \delta {\epsilon }_{ij}}
é o estado de deformação virtual em um ponto qualquer no elemento. A partir do tensor de deformação de Green-Lagrange e desprezando-se as tensões no plano de normal na direção Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): z

, chega-se à Eq. (2) para trabalho virtual interno, onde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): t

é a espessura do elemento triangular

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \delta W_{int}=t\underset{A}{\int\!\int }\left[\delta u_{,x}{\sigma }_x+\delta v_{,y}{\sigma }_y+(\delta u_{,y}+\delta v_{,x}){\tau }_{xy}\right]dA.

(2)

Para o elemento triangular de três nós é usual adotar as funções de interpolação em coordenadas naturais, as quais podem ser escritas como:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): N_1={\xi }_1=\xi =\frac{\left(y_2-y_3\right)}{2A}x+ Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \frac{\left(x_3-x_2\right)}{2A}y+\frac{(y_3-y_2)x_2-(x_3-x_2)y_1}{2A}	(3a)
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): N_2={\xi }_2=\eta =\frac{\left(y_3-y_1\right)}{2A}x+ Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \frac{\left(x_1-x_3\right)}{2A}y+\frac{(x_3-x_1)y_1-(y_3-y_1)x_1}{2A}	(3b)
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): N_3={\xi }_3=1-\xi -\eta	(3c)

onde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): x_1 , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): x_2 , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): x_3 , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): y_1 , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): y_2 , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): y_3

são as coordenadas cartesianas do elemento e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): A
sua área.

Definindo o vetor de deslocamentos nodais por Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): q={\left\{\begin{array}{cccccc} u_1 & u_2 & u_3 & v_1 & v_2 & v_3 \end{array}\right\}}^T

e representando as funções de interpolação em coordenadas naturais pelo vetor coluna  Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\Phi }^T=\left(\begin{array}{ccc} N_1 & N_2 & N_3 \end{array}\right)

, definem-se as equações aproximadas dos deslocamentos associados aos deslocamentos nodais q que podem ser escritas na forma matricial conforme a Eq. (4)

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \left\{\begin{array}{c} u\\ v \end{array}\right\}=\left[\begin{array}{cc} {\Phi }^T & {O}^T\\ {O}^T & {\Phi }^T \end{array}\right]q\mbox{.}

(4)

Na Eq. (4), Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): O

é um vetor coluna nulo com três termos. Sendo os deslocamentos Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): u
e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): v
funções dos deslocamentos nodais, os seus variacionais podem ser escritos a partir da seguinte expressão: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \delta a=\delta q^T\left(\frac{\partial a}{\partial q}\right)}
, sendo  Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \textbf{q}}
o vetor dos deslocamentos nodais,  Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \partial }
o operador diferencial e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): a
substituído por Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): u
e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): v
Substituindo esses variacionais na Eq. (2) chega-se ao trabalho virtual de um elemento triangular dado pela equação a seguir

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \delta W_{int}=\delta \textbf{q}^Tt\underset{A}{\int\!\int }\left[\frac{\partial u_{,x}}{\partial \textbf{q}}{\sigma }_x+\frac{\partial v_{,y}}{\partial \textbf{q}}{\sigma }_y+\left(\frac{\partial u_{,y}}{\partial \textbf{q}}+\frac{\partial v_{,x}}{\partial \textbf{q}}\right){\tau }_{xy}\right]dA.

(5)

sendo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \textbf{f}_{ext}}

o vetor de forças externas nas direções dos graus de liberdade do elemento triangular, o trabalho virtual externo é dado por  Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \delta W_{ext}=\delta \textbf{q}^T\textbf{f}_{ext}}

, onde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \textbf{f}_{ext}}

é o vetor de forças externas aplicadas diretamente na direção dos graus de liberdade do elemento, e as forças nodais equivalentes obtidas a partir do carregamento externo atuando no contorno do elemento. Da condição Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \delta W_{ext}=\delta W_{int}}
tem-se:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \delta \textbf{q}^Tt\underset{A}{\int\!\int }\left[\frac{\partial u_{,x}}{\partial \textbf{q}}{\sigma }_x+\frac{\partial v_{,y}}{\partial \textbf{q}}{\sigma }_y+\left(\frac{\partial u_{,y}}{\partial \textbf{q}}+\frac{\partial v_{,x}}{\partial \textbf{q}}\right){\tau }_{xy}\right]dA= Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \delta q^Tf_{ext}

(6)

Como a expressão acima deve ser válida para qualquer campo de deslocamento virtual Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \delta {\bf q}} , segue que Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \textbf{f}_{int}-\textbf{f}_{ext}=\mbox{0}} , onde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \textbf{f}_{int}}

é o vetor de forças internas definido por:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): f_{int}=t\underset{A}{\int\!\int }\left[\frac{\partial u_{,x}}{\partial \textbf{q}}{\sigma }_x+\frac{\partial v_{,y}}{\partial \textbf{q}}{\sigma }_y+\left(\frac{\partial u_{,y}}{\partial \textbf{q}}+\frac{\partial v_{,x}}{\partial \textbf{q}}\right){\tau }_{xy}\right]dA

(7)

A Eq. (7) pode ser escrita na forma matricial como:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \textbf{f}_{int}=t\underset{A}{\int\!\int }\left[\begin{array}{c} {\sigma }_x{\Phi }_{,x}+{\tau }_{xy}{\Phi }_{,y}\\ {\sigma }_y{\Phi }_{,y}+{\tau }_{xy}{\Phi }_{,x} \end{array}\right]\mbox{ }dA

(8)

Utilizando o método de Newton-Rapshon na solução do problema Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \textbf{f}_{int}-\textbf{f}_{ext}=\mbox{0}}

é necessária a determinação da derivada dessa expressão em relação aos deslocamentos nodais, obtendo assim a matriz de rigidez tangente. Sendo  Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \textbf{f}_{ext}}
constante em relação aos deslocamentos nodais, a matriz de rigidez tangente é dada por  Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \textbf{K}=\partial \textbf{f}_{int}/\partial \textbf{q}}

, que, após manipulações algébricas, pode ser escrita de acordo com a Eq. (9)

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \textbf{K}=t\underset{A}{\int\!\int }\left[\begin{array}{c} {\Phi }_{,x}{\left(\frac{\partial {\sigma }_x}{\partial \textbf{q}}\right)}^T+{\Phi }_{,y}{\left(\frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial \textbf{q}}\right)}^T\\ {\Phi }_{,y}{\left(\frac{\partial {\sigma }_y}{\partial \textbf{q}}\right)}^T+{\Phi }_{,x}{\left(\frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial \textbf{q}}\right)}^T \end{array}\right]dA

(9)

onde, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \Phi_{,x}

e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \Phi_{,y}
são as derivadas das funções de forma com relação a Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): x
e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): y

, respectivamente, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\sigma }_x

e  Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\sigma }_y
são as tensões normais nas direções x e y, respectivamente,  Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\tau }_{xy}
é a tensão cisalhante, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \bf q
é o vetor de deslocamento nodal, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): t
é a espessura e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): A
a área do elemento.

Na Eq. (9), a derivada da tensão normal na direção Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): x

em relação aos deslocamentos nodais é dada por:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \frac{\partial {\sigma }_x}{\partial q}=\frac{\partial {\sigma }_x}{\partial {\epsilon }_x}\frac{\partial {\epsilon }_x}{\partial q}+ Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \frac{\partial {\sigma }_x}{\partial {\epsilon }_y}\frac{\partial {\epsilon }_y}{\partial q}

(10)

As derivadas das deformações lineares em relação aos deslocamentos nodais são dadas pelas Eqs. (11) e (12)

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \frac{\partial {\epsilon }_x}{\partial q}=\frac{\partial u_{,x}}{\partial q}= Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \left[\begin{array}{c} {\Phi }_{,x}\\ O \end{array}\right]

(11)

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \frac{\partial {\epsilon }_y}{\partial q}=\frac{\partial v_{,y}}{\partial q}= Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \left[\begin{array}{c} O\\ {\Phi }_{,y} \end{array}\right]

(12)

Substituindo as Eqs. (11) e (12) na derivada da tensão normal na direção x em relação aos deslocamentos nodais (Eq. (10)), tem-se:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \frac{\partial {\sigma }_x}{\partial q}=\frac{E}{1-{\nu }^2}\left[\begin{array}{c} {\Phi }_{,x}\\ \nu {\Phi }_{,y} \end{array}\right]

(13)

De forma análoga à descrita para tensão normal na direção Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): x , pode-se chegar às Eqs. (14) e (15) para as derivadas em relação aos deslocamentos nodais das outras tensões atuantes no elemento

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \frac{\partial {\sigma }_y}{\partial q}=\frac{E}{1-{\nu }^2}\left[\begin{array}{c} \nu {\Phi }_{,x}\\ {\Phi }_{,y} \end{array}\right]	(14)
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial q}=\frac{E}{2(1+\nu )}\left[\begin{array}{c} {\Phi }_{,y}\\ {\Phi }_{,x} \end{array}\right]	(15)

A seguir são determinadas as derivadas das funções de forma em relação aos eixos Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): x

e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): y

.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\Phi }_{,x}={\Phi }_{,\xi }{\xi }_{,x}+{\Phi }_{,\eta }{\eta }_{,x}= Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \left\{\begin{array}{c} 1\\ 0\\ -1 \end{array}\right\}\frac{y_2-y_3}{2A}+\left\{\begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1 \end{array}\right\}\frac{y_3-y_1}{2A}=\frac{1}{2A}\left\{\begin{array}{c} y_2-y_3\\ y_3-y_1\\ y_1-y_2 \end{array}\right\}

(16)

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\Phi }_{,y}={\Phi }_{,\xi }{\xi }_{,y}+{\Phi }_{,\eta }{\eta }_{,y}= Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \left\{\begin{array}{c} 1\\ 0\\ -1 \end{array}\right\}\frac{x_3-x_2}{2A}+\left\{\begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1 \end{array}\right\}\frac{x_1-x_3}{2A}=\frac{1}{2A}\left\{\begin{array}{c} x_3-x_2\\ x_1-x_3\\ x_2-x_1 \end{array}\right\}

(17)

Na representação isoparamétrica, as coordenadas cartesianas Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): x

e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): y
são relacionadas com as coordenadas paramétricas Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \xi
e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \eta

. Então, para mudança do domínio de integração Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): dA= dxdy

para  Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): d\xi d\eta 
utiliza-se a relação  Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): dA=det\mbox{J}d\xi d\eta 
onde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \bf J
é a matriz jacobiano da transformação das coordenadas Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): x
e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): y
para as coordenadas paramétricas   Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \xi 
e  Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \eta 
dada pela equação seguir. Dessa forma, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): det{\bf J} = 2A

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \mbox{J}=\left[\begin{array}{cc} x_{,\xi } & y_{,\xi }\\ x_{,\eta } & y_{,\eta } \end{array}\right]

(18)

3. Otimização estrutural evolucionária

A técnica ESO surge como uma alternativa ao rigor matemático de métodos clássicos de otimização. Apresenta uma base teórica simples cujo fundamento consiste na inserção de vazios na estrutura através da eliminação gradual dos elementos menos solicitados do domínio durante o processo de evolução. Portanto, para se obter a configuração ótima deve-se agregar ao estudo um nível de análise estrutural dependente de um domínio discreto, o que torna o emprego do MEF uma etapa do algoritmo de otimização.

Neste trabalho a representação matemática técnica ESO baseia-se no conceito de tensão, isto é, o nível máximo de tensão na estrutura, obtido por análises via MEF, é tomado como um indicador do nível de eficiência de cada elemento. Elementos com baixo nível de tensão são, portanto, sistematicamente removidos da estrutura. A cada iteração novos elementos ineficientes são eliminados da malha e o procedimento se repete até que o campo de tensão atuante em todo o domínio seja praticamente constante e muito próximo da tensão admissível do material ou que seja atingida a restrição de volume mínimo.

O critério de remoção é feito comparando-se a tensão de von Mises de cada elemento com a tensão de von Mises máxima existente em toda a estrutura. Portanto, no fim de cada iteração todos os elementos que atendem à Eq. (19) serão eliminados. A forma de retirada do elemento ocorre atribuindo-se baixos valores para seu módulo de elasticidade longitudinal (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): E=10^{-12} ). Desse modo, evita-se o remalhamento da estrutura

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\sigma }_e^{\upsilon M}<RR_i.\mbox{ }{\sigma }_{Max}^{\upsilon M}

(19)

onde:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle {\sigma }_{e}^{vM}} = tensão de von Mises no elemento analisado;

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): RRi = razão de rejeição na i-ésima iteração (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): 0< RRi <1,0 );

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle {\sigma }_{Max}^{vM}} = máxima tensão de von Mises da iteração.

A razão de rejeição é usada para retardar o processo de remoção do elemento. O ciclo de remoção ocorre até que não possam mais ser removidos elementos para um dado valor de Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): RRi . Quando isto ocorre, um estado de equilíbrio é alcançado. O processo evolucionário é redefinido adicionando-se à Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): RRi

uma razão de evolução, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): ER

. A razão de rejeição é atualizada de acordo com a Eq. (20)

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): RR_{i+1}=RR_i+ER

(20)

O valor inicial da razão de rejeição (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): RR_0 ) é definido de forma empírica pelo usuário. Entretanto, segundo Querin [3], para garantir melhor convergência, os valores de Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): RR_0

e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): ER
devem ser de aproximadamente 1%. O processo se repete enquanto a estrutura não atingir o volume final, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): VF

, definido pelo usuário, ou seja:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): VR<(1-VF)\mbox{ }.\mbox{ }VT

(21)

onde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): VR

é o volume  retirado acumulado até aquela iteração, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): VF
é o volume final expresso em percentual (por exemplo, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): VF= 0,4
 implica que a retirada de elementos cessará quando o volume da estrutura atingir 40% do seu volume total inicial) e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): VT
o volume inicial total da estrutura.

Matematicamente, o ESO pode ser escrito como:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \mbox{D }(j)=\left\{ \begin{array}{c} \mbox{D}_0,\\ \mbox{0,} \end{array}\begin{array}{c} se\\ se \end{array}\begin{array}{c} j\\ j \end{array}\begin{array}{c} \in \\ \in \end{array}\begin{array}{c} \Gamma \\ \Gamma \, {}' \end{array}\right.

(22)

onde:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\bf D}(j)

= matriz constitutiva do ponto  Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle  j\in \, \Omega}

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\bf D}_0

= matriz constitutiva inicial;

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \Omega = \Gamma +\Gamma '

= domínio da estrutura;

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \Gamma =\left\{\Omega /\left(\frac{{\sigma }_e^{vM}}{{\sigma }_{m\acute{a}x}^{vM}}\right)\geq {\mbox{RR}}_i\right\}

conjunto dos elementos que não serão removidos.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \Gamma \, {}'=\left\{\Omega /\left(\frac{{\sigma }_e^{vM}}{{\sigma }_{m\acute{a}x}^{vM}}\right)<{\mbox{RR}}_i\right\} , conjunto dos elementos que serão removidos.

Portanto, o algoritmo ESO apresenta a seguinte marcha, representada no fluxograma da Figura 1:

1º Passo: discretização do domínio e aplicação das condições de contorno e ações prescritas;

2º Passo: análise da estrutura via MEF e cálculo das tensões principais e tensões de von Mises em cada elemento;

3º Passo: retirar os elementos que satisfaçam a Eq. (19), dentro de um limite pré-definido de volume (p%);

4º Passo: repetir os passos 2 e 3 até que seja atingido o equilíbrio;

5º Passo: acréscimo da razão de rejeição conforme a Eq. (20) e iniciar nova retirada de elementos repetindo os passos 2, 3 e 4.

Figura 1. Fluxograma do algoritmo ESO em nível de tensão

4. Critério de escoamento do von Mises

O critério de remoção é baseado na tensão de von Mises de cada elemento na i-ésima iteração, que em termos de tensões principais pode ser calculada conforme a Eq. (23):

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\sigma }_e^{vM}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_3-{\sigma }_1\right)}^2}

(23)

Para o caso de estado plano de tensão, com Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\sigma }_3=0

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\sigma }_{vM}^2={\sigma }_1^2-{\sigma }_1{\sigma }_2+ Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\sigma }_2^2

(24)

5. Exemplos numéricos

Neste item são apresentadas algumas aplicações considerando o método ESO implementado. São feitas análises elástico-lineares em estruturas submetidas a estado plano de tensão. O material é considerado homogêneo e isotrópico.

Para cada exemplo são definidas as propriedades mecânicas do material e o domínio inicial de projeto. Além disso, são especificados os seguintes parâmetros: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): RR

(razão de rejeição), Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): ER
(razão de evolução), Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): VF
(volume final desejado), Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): VI
(volume máximo retirado por iteração), Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): VR
(volume total retirado até uma dada iteração), número da iteração e malha de elementos finitos adotada. Nesse item podem ser feitos os agradecimentos às instituições de fomento à pesquisa, às empresas privadas patrocinadoras do trabalho, aos pesquisadores e profissionais que auxiliaram na execução dos ensaios e fornecimento de dados e materiais.

5.1 Estrutura de Michell

O primeiro exemplo a ser apresentado trata-se de uma viga simplesmente apoiada submetida a uma carga concentrada conforme indicado na Figura 2a, comumente chamada na literatura de estrutura de Michell. A solução analítica é mostrada na Figura 2b. O material adotado foi o aço, cujo módulo de elasticidade Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): E=200 GPa, coeficiente de Poisson Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \nu =0.3

e espessura igual a 1mm.

Figura 2. (a) Domínio inicial para estrutura de Michell. (b) Solução analítica

O domínio foi discretizado numa malha de elementos triangulares de Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): 96\times 40 . O processo evolucionário teve início com uma razão de rejeição (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): RR ) de 1% e uma razão de evolução (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): ER ) de 0,75%. O volume retirado (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): VR ) de 60% do volume inicial e o volume máximo retirado por iteração (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): VI ) de 1,75%. As Figuras 3a, 3b e 3c apresentam a evolução da estrutura, enquanto que a Figura 3d ilustra o modelo de bielas e tirantes obtido, onde as bielas estão representadas em azul e os tirantes em vermelho.

Figura 3. (a) Iteração 22, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): RR=2,5% , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): VR=5,6% . (b) Iteração 69, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): RR=4,75% , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): VR=18,6% . (c) Iteração 175, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): RR=10,75% , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): VR=60,0% . (d) Modelo de bielas e tirantes

5.2 Consolo curto

Este exemplo apresenta um consolo curto projetado para suportar uma carga pontual de 500kN. A Figura 4 traz as dimensões da estrutura em milímetros. O módulo de elasticidade do concreto foi tomado igual a Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): E=28567

MPa, coeficiente de Poisson Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":):  \nu =0,15
 e a espessura assumida como sendo igual a 300mm.

Figura 4. Consolo Curto (Liang et al. [4])

Este exemplo foi estudado por Liang et al. [4] e Almeida et al. [5]. A Figura 5 apresenta a evolução da estrutura e o correspondente modelo de bielas e tirantes sugerido pelos autores, no qual as bielas estão representadas por linha pontilhada e os tirantes por linha cheia.

Figura 5. (a), (b), (c) Processo evolucionário. (d) Modelo de bielas e tirantes (Liang et al. [4])

No presente trabalho a estrutura foi modelada usando uma malha com 5664 elementos triangulares de três nós com 25 mm de lado. Para obter a topologia ótima apresentada na Figura 6, os parâmetros adotados foram: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): RR = 0,01 , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): ER=0,05 , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): VF=45% , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): VI=0,05 . Os campos de compressão (bielas) são representados em azul e os campos de tração (tirantes) em vermelho.

Figura 6. (a) Iteração 25, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): RR=11,0% , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): VR=15,0% . (b) Iteração 31, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): RR=11,0% , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): VR=35,0% . (c) Iteração 47, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): RR=16,0% , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): VR=55,0%

5.3 Pilar de ponte

Este exemplo foi proposto por Liang et al. [6] e estudado também por Almeida et al. [7]. Trata-se de um pilar de ponte projetado para suportar quatro cargas concentradas de 2750kN transferidas por quatro vigas de aço-concreto. O pilar tem espessura de 1,5m e é admitido como sendo engastado na fundação. A geometria, condições de contorno e ações do problema estão indicados na Figura 7, com dimensões em milímetros e kN.

Figura 7. Domínio de projeto do pilar de ponte (Liang et al. [6])

O domínio foi discretizado numa malha refinada com 12260 elementos finitos triangulares. As propriedades do material isotrópico utilizado são módulo de elasticidade Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): E = 28,6 GPa e coeficiente de Poisson Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \nu = 0,15 .

O processo evolucionário teve início com uma razão de rejeição (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): RR ) igual a 4% e uma razão de evolução (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): ER ) de 2%. O volume final desejado igual a 48% do volume inicial e taxa de retirada de material por iteração (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): VI ) igual a 1,75%. A Figura 8 apresenta o MBT alcançado. As regiões em vermelho e azul indicam, respectivamente, regiões de tração, tirantes, e regiões de compressão, bielas.

Figura 8. (a) Modelo de bielas e tirantes obtido no presente trabalho - Iteração 164, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): RR=18% , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): VR=52% . (b) Topologia ótima proposta por Liang et al. [6]

6. Conclusões

O objetivo do artigo é a apresentação de uma formulação numérica para verificar o fluxo de tensões em estruturas bidimensionais para geração automática do modelo de bielas e tirantes que auxiliem o projetista na concepção e posterior dimensionamento de estruturas de concreto armado. O algoritmo de otimização topológica ESO foi, portanto, utilizado com esse propósito. O uso do Método dos Elementos Finitos, considerando análise linear elástica, se torna conveniente devido ao critério de remoção adotado para o ESO.

Assim, um domínio estendido é inicialmente discretizado numa malha refinada de elementos finitos e, iterativamente, o algoritmo conduz à configuração ótima que representa o modelo de bielas e tirantes procurado.

Finalmente, pode-se afirmar que os exemplos numéricos apresentados estão de acordo com os resultados encontrados na literatura científica, o que validam a efetividade da formulação implementada.

Para o dimensionamento, alerta-se para o fato de que o modelo de bielas e tirantes deve atender aos procedimentos impostos por códigos normativos, principalmente no que se refere à utilização de armadura mínima, que podem ser maiores que os tirantes concebidos.

Agradecimentos

Os autores agradecem à CAPES, CNPq, FAPEMIG, Fundação Gorceix e PROPEC/UFOP pelo apoio financeiro e suporte necessários para realização desta pesquisa.

Referências

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